Tablas de verdad.

LAS TABLAS DE VERDAD.

Una vez que hemos formalizado una proposición resulta mucho más fácil operar con ella. Lo primero que podemos hacer con ella es averiguar en qué casos es verdadera y en qué casos no.

La Semántica es aquella parte del lenguaje que se ocupa de la relación entre los símbolos y su significado, pero ya dijimos que a la Lógica no le interesa el significado empírico de las proposiciones; lo único que le interesa de su significado es su valor veritativo: su verdad o falsedad.

Como la verdad de las proposiciones complejas depende del valor veritativo de sus proposiciones simples (variables) y del tipo de relación que las une (constantes o conectores), la Lógica usa un método para demostrar semánticamente una fórmula cualquiera: el método de las tablas de verdad. Este método consiste en calcular en qué casos una proposición compleja es verdadera y en qué casos es falsa. Cada uno de los conectores o constantes lógicas se define semánticamente mediante una tabla de verdad que muestra sus posibles valores veritativos según los casos.

Un enunciado cualquiera puede ser verdadero o falso. Por ejemplo, si digo:

P

1

0

“A María le gusta Extremoduro”, puede ser que

Opción 1: Que sea verdad que a María le guste Extremoduro. (1)
Opción 2: Que no sea verdad que a María le guste Extremoduro (0)

Si en vez de un enunciado, tenemos dos, las funciones de verdad (veritativas) se pueden aplicar a ambos. ¿Cuántas combinaciones de 1s y 0s habría que poner? Pues se utiliza la fórmula de 2n, donde “n” es el número de enunciados. Si son dos enunciados, tenemos que 22= 4 combinaciones.

Veamos el siguiente ejemplo:

A María le gusta Extremoduro: p
A Antonio le gusta David Bisbal: q

P	q
1	1
1	0
0	1
0	0

Veamos ahora la tabla de verdad de los conectores que hemos visto en clase:
Sólo hay cinco operaciones lógicas con cinco conectores (nosotros hemos visto cuatro sólo). Podemos saber en qué casos una fórmula es verdadera y en cuáles es falsa aplicando las reglas de los conectores expresadas en tablas de verdad.

Regla de la negación: si un enunciado es verdadero su negación es falsa, y viceversa.

Regla de la conjunción: una conjunción es verdadera sólo si son verdaderos todos los enunciados simples que la componen y es falsa en cualquier otro caso.

Regla de la disyunción (inclusiva): una disyunción es verdadera si al menos una de los enunciados componentes es verdadero y falsa si todos los enunciados son falsos.

Regla del condicional: un condicional es verdadero en todos los casos excepto cuando el antecedente es verdadero y el consecuente es falso.

p	q	P ∧ q	P v q	P →   q	¬p
1	1	1	1	1	0
1	0	0	1	0	0
0	1	0	1	1	1
0	0	0	0	1	1
Columna de argumentos		Columnas de valores

Imaginaos que ahora os doy la siguiente fórmula:

P → (p v q), la tabla de verdad sería la siguiente:

p	q	P v q	P   →    (p v q)
1	1	1	1
1	0	1	1
0	1	1	1
0	0	0	1

¿Y si tenemos tres enunciados? Pues la tabla de verdad sería la siguiente:

Las fórmulas resultantes pueden ser:
1) Tautologías: si los resultados de la última columna de la tabla de verdad sólo tiene 1s, significa que es verdadera para cualquier interpretación.  p → p

2) Contradicción: si en la última columna de la tabla sólo aparecen 0s, y por tanto sería una fórmula falsa, universalmente falsa. p ∧ ¬p

3) Indeterminación: si en la última columna de la tabla de verdad aparecen 1s y 0s, por lo tanto, la fórmula no sería ni verdadera ni falsa.  p → q

Cuando hacemos una tabla de verdad, tenemos que tener en cuenta el orden de las funciones veritativas, esto es, el orden en el que vamos calculando los valores de verdad de los distintos conectores.

(p ∨ ¬q) → ( ¬p → ¬q)

         1          1          1

     2                    2
               3

Realiza las siguientes tablas de verdad e indica si es una contradicción, una tautología o una proposición empírica.

1. p ∧ q

2. (p ∧ q) ∧ r

3. ¬(p → ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

4. (p ∧ q) ∨ (p ∨ ¬q)

5. p ∧ q ∧ r

6. ¬(p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

7. ¬¬(¬p ∧ ¬q) ∨ (p ∧ ¬q)

8. p ∨ q ∧ r

9. ¬(¬p ∧ ¬q) ∧ (¬p ∧ ¬q)

10. p ∨ q ∧ ¬r

11. p ∧ q → r

12. p ∧ q → ¬r

13. p ↔ ¬ p

14. ¬ (p ∧ ¬q) ∧ (p ∧ ¬q)

15. ¬¬ p ∨ ¬¬ q

16. p ∨q

17. p ↔ q v r

18. [ (¬p ∨ q) v (p ∧ q)] →[ (¬p ∨ q) v ¬p ]

19. (p ∨ ¬q) → ( ¬p → ¬q)

20. (p ↔ ¬q) v (p ∨ ¬q)

21. (¬p ∧ q) ∨ (¬p → q)

22. ¬q ∨ ¬p

23. (p → q ∧ r) ↔ ¬(¬q v r) v ¬r

24. (¬q ∧ r) → ¬(¬q v r) v ¬r

25. (p → q ) ∧ ¬(p v r) v ¬r

26. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ ¬r)

27. ¬p ↔ (q ∧ r) ∨ ¬(¬q v r)

28. [ (p v ¬ q) → (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p] v ¬p

29. [ ¬(p v q) v (p → q)] → [(¬p → q) v ¬p]

30. (p → q) ∧ (q → r) → (p ∧ r)

31. (p ∧ q → r) → (p v r )

32. (p ↔ q) → (¬q ↔ ¬p).

33. (p ∧ q → p v ¬r) → ¬(¬q v ¬r) ∧ r

34. (p ∧ q → p) → (q v r ) ∧ (¬p ∧ ¬r)

35. ¬p → (q v r) ∧ ¬s

36. (p ↔ q) v (p → q)

37. (p v q) ∧ (¬p → ¬q v r)

38. (¬p ∧ q → p v r) ↔ ¬(¬q v ¬r) ∧ r

39. [ (¬p v q) ∧ (r → s) ] v ¬t

40. [ (¬p v q ) → r ] ↔ [ (p ∧ ¬q) v r ]

41. (¬p ∨ q → p ∧ r) ↔ ¬(¬q v ¬r) v r

42. (p ↔ q ∧ ¬r) ↔ ¬( ¬q v ¬r) v ( r v s )

43. (p ∨ ¬q → p ∧ r ) ↔ [ ¬(¬ q v ¬ r) v ( r → ¬ q) ]

44. (¬p ↔ q) ∧ (p v ¬p → ¬q v r)

45. (¬p ↔ ¬r ∧ ¬p) ∨ ¬(¬q � ¬p ∨ r) → ¬r

46. (¬p ↔ q v ¬r) ∧ ¬(¬p ↔ q v ¬r)

47. p v q ↔ (p → q)

48. (p v q) → (p ↔ q)•

49. [ (p v q) → (q → p) ] v ¬p

50. (p ↔ q) v ( p→ q)

51. (p v q) → ( ¬p→ ¬q)

52. p ∧ ¬q → ¬p

53. (p v q) ∧ (q→p)] v ¬ p

54. [(A→B)/\(B→C)] →(A→C)

55. (p ↔ ¬q) ∧ q

56. ¬(¬p ∧ q → r) → (q ↔ s v t) ∧ (¬p ∧ ¬r)

57. ¬p ∧ q ↔ p

58. p v q ↔ (p → q)

Si quieres profundizar un poco más sobre las tablas de verdad, puedes consultar el siguiente enlace.